Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Límite de x*tan(3*x)/(-cos(x)^3+cos(x))
-
Límite de (8+x^2-6*x)/(12+x^2-8*x)
-
Límite de (-2+sqrt(1+x))/(-1+sqrt(-2+x))
-
Expresiones idénticas
- cuatro ^(-x)* cinco ^x- veinte * cuatro ^(-x)*x^ cuatro
- 4 en el grado ( menos x) multiplicar por 5 en el grado x menos 20 multiplicar por 4 en el grado ( menos x) multiplicar por x en el grado 4
- cuatro en el grado ( menos x) multiplicar por cinco en el grado x menos veinte multiplicar por cuatro en el grado ( menos x) multiplicar por x en el grado cuatro
- 4(-x)*5x-20*4(-x)*x4
- 4-x*5x-20*4-x*x4
- 4^(-x)*5^x-20*4^(-x)*x⁴
- 4^(-x)5^x-204^(-x)x^4
- 4(-x)5x-204(-x)x4
- 4-x5x-204-xx4
- 4^-x5^x-204^-xx^4
-
Expresiones semejantes
- 4^(-x)*5^x+20*4^(-x)*x^4
- 4^(-x)*5^x-20*4^(x)*x^4
- 4^(x)*5^x-20*4^(-x)*x^4
Límite de la función 4^(-x)*5^x-20*4^(-x)*x^4
Solución
Ha introducido
[src]
/ -x x -x 4\ lim \4 *5 - 20*4 *x / x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 20 \cdot 4^{- x} x^{4} + 4^{- x} 5^{x}\right)$$
Limit(4^(-x)*5^x - 20*4^(-x)*x^4, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{x} - 20 x^{4}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} 4^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 20 \cdot 4^{- x} x^{4} + 4^{- x} 5^{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(4^{- x} \left(5^{x} - 20 x^{4}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5^{x} - 20 x^{4}\right)}{\frac{d}{d x} 4^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)} - 80 x^{3}\right)}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)} - 80 x^{3}\right)}{\frac{d}{d x} 2 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)}^{2} - 240 x^{2}\right)}{4 \log{\left(2 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)}^{2} - 240 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} 4 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)}^{3} - 480 x\right)}{8 \log{\left(2 \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)}^{3} - 480 x\right)}{\frac{d}{d x} 8 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)}^{4} - 480\right)}{16 \log{\left(2 \right)}^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)}^{4} - 480\right)}{\frac{d}{d x} 16 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)}^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x} 5^{x} \log{\left(5 \right)}^{5}}{16 \log{\left(2 \right)}^{4} \log{\left(4 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x} 5^{x} \log{\left(5 \right)}^{5}}{16 \log{\left(2 \right)}^{4} \log{\left(4 \right)}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5^{x} - 20 x^{4}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} 4^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 20 \cdot 4^{- x} x^{4} + 4^{- x} 5^{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(4^{- x} \left(5^{x} - 20 x^{4}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5^{x} - 20 x^{4}\right)}{\frac{d}{d x} 4^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)} - 80 x^{3}\right)}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)} - 80 x^{3}\right)}{\frac{d}{d x} 2 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)}^{2} - 240 x^{2}\right)}{4 \log{\left(2 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)}^{2} - 240 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} 4 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)}^{3} - 480 x\right)}{8 \log{\left(2 \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)}^{3} - 480 x\right)}{\frac{d}{d x} 8 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)}^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)}^{4} - 480\right)}{16 \log{\left(2 \right)}^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5^{x} \log{\left(5 \right)}^{4} - 480\right)}{\frac{d}{d x} 16 \cdot 4^{x} \log{\left(2 \right)}^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x} 5^{x} \log{\left(5 \right)}^{5}}{16 \log{\left(2 \right)}^{4} \log{\left(4 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4^{- x} 5^{x} \log{\left(5 \right)}^{5}}{16 \log{\left(2 \right)}^{4} \log{\left(4 \right)}}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 20 \cdot 4^{- x} x^{4} + 4^{- x} 5^{x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- 20 \cdot 4^{- x} x^{4} + 4^{- x} 5^{x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 20 \cdot 4^{- x} x^{4} + 4^{- x} 5^{x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- 20 \cdot 4^{- x} x^{4} + 4^{- x} 5^{x}\right) = - \frac{15}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- 20 \cdot 4^{- x} x^{4} + 4^{- x} 5^{x}\right) = - \frac{15}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 20 \cdot 4^{- x} x^{4} + 4^{- x} 5^{x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- 20 \cdot 4^{- x} x^{4} + 4^{- x} 5^{x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 20 \cdot 4^{- x} x^{4} + 4^{- x} 5^{x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- 20 \cdot 4^{- x} x^{4} + 4^{- x} 5^{x}\right) = - \frac{15}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- 20 \cdot 4^{- x} x^{4} + 4^{- x} 5^{x}\right) = - \frac{15}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 20 \cdot 4^{- x} x^{4} + 4^{- x} 5^{x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo