Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de ((4+3*x)/(-2+3*x))^(-7+5*x)
-
Límite de ((4+x)/(-1+x))^(3*x)
-
Expresiones idénticas
- x*(x*(uno +x))^(-x/ dos)
- x multiplicar por (x multiplicar por (1 más x)) en el grado ( menos x dividir por 2)
- x multiplicar por (x multiplicar por (uno más x)) en el grado ( menos x dividir por dos)
- x*(x*(1+x))(-x/2)
- x*x*1+x-x/2
- x(x(1+x))^(-x/2)
- x(x(1+x))(-x/2)
- xx1+x-x/2
- xx1+x^-x/2
- x*(x*(1+x))^(-x dividir por 2)
-
Expresiones semejantes
- x*(x*(1+x))^(x/2)
- x*(x*(1-x))^(-x/2)
Límite de la función x*(x*(1+x))^(-x/2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ -x \
| ---|
| 2 |
lim \x*(x*(1 + x)) /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right)$$
Limit(x*(x*(1 + x))^((-x)/2), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{x}{2}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{- \frac{x}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{x}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right)^{- \frac{x}{2}}}{\frac{x}{x + 1} + \frac{\log{\left(x^{2} + x \right)}}{2} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right)^{- \frac{x}{2}}}{\frac{x}{x + 1} + \frac{\log{\left(x^{2} + x \right)}}{2} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{x}{2}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{- \frac{x}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{x}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right)^{- \frac{x}{2}}}{\frac{x}{x + 1} + \frac{\log{\left(x^{2} + x \right)}}{2} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right)^{- \frac{x}{2}}}{\frac{x}{x + 1} + \frac{\log{\left(x^{2} + x \right)}}{2} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x \left(x + 1\right)\right)^{\frac{\left(-1\right) x}{2}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo