Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno +x^ dos)/x^ dos)^(uno +x^ dos)
- ((1 más x al cuadrado ) dividir por x al cuadrado ) en el grado (1 más x al cuadrado )
- ((uno más x en el grado dos) dividir por x en el grado dos) en el grado (uno más x en el grado dos)
- ((1+x2)/x2)(1+x2)
- 1+x2/x21+x2
- ((1+x²)/x²)^(1+x²)
- ((1+x en el grado 2)/x en el grado 2) en el grado (1+x en el grado 2)
- 1+x^2/x^2^1+x^2
- ((1+x^2) dividir por x^2)^(1+x^2)
-
Expresiones semejantes
- ((1-x^2)/x^2)^(1+x^2)
- ((1+x^2)/x^2)^(1-x^2)
Límite de la función ((1+x^2)/x^2)^(1+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
1 + x
/ 2\
|1 + x |
lim |------|
x->oo| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1}$$
Limit(((1 + x^2)/x^2)^(1 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2}}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u + 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1} = e$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2}}{1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u + 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1} = e$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
2
1 + x
/ 2\
|1 + x |
lim |------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1}$$
oo
$$\infty$$
= 22812.037252135
2
1 + x
/ 2\
|1 + x |
lim |------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1}$$
oo
$$\infty$$
= 22812.037252135
= 22812.037252135
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1} = e$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1} = 4$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1} = 4$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1} = e$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1} = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1} = 4$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1} = 4$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)^{x^{2} + 1} = e$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico