Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-4*x)/(sqrt(x)-sqrt(2)/2)
-
Límite de (1-sin(x))^(1/sin(x))
-
Límite de 1/(2+n)
-
Límite de (1+5/(3*x))^(2*x)
-
Expresiones idénticas
- sin((uno +n)/(dos +n)^ cuatro)/sin(n/(uno +n)^ cuatro)
- seno de ((1 más n) dividir por (2 más n) en el grado 4) dividir por seno de (n dividir por (1 más n) en el grado 4)
- seno de ((uno más n) dividir por (dos más n) en el grado cuatro) dividir por seno de (n dividir por (uno más n) en el grado cuatro)
- sin((1+n)/(2+n)4)/sin(n/(1+n)4)
- sin1+n/2+n4/sinn/1+n4
- sin((1+n)/(2+n)⁴)/sin(n/(1+n)⁴)
- sin1+n/2+n^4/sinn/1+n^4
- sin((1+n) dividir por (2+n)^4) dividir por sin(n dividir por (1+n)^4)
-
Expresiones semejantes
- sin((1-n)/(2+n)^4)/sin(n/(1+n)^4)
- sin((1+n)/(2-n)^4)/sin(n/(1+n)^4)
- sin((1+n)/(2+n)^4)/sin(n/(1-n)^4)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(2*x)^3*tan(3*x)/x^2
- sin(x^2+2*x)/(x^2-2*x)
- sin(11*x)/sin(x)
- sin(x/5)/sin(x)
- sin(-2+x+x^2)/(-1+x)
- Seno sin
- sin(2*x)^3*tan(3*x)/x^2
- sin(x^2+2*x)/(x^2-2*x)
- sin(11*x)/sin(x)
- sin(x/5)/sin(x)
- sin(-2+x+x^2)/(-1+x)
Límite de la función sin((1+n)/(2+n)^4)/sin(n/(1+n)^4)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 1 + n \\
|sin|--------||
| | 4||
| \(2 + n) /|
lim |-------------|
n->oo| / n \|
|sin|--------||
| | 4||
\ \(1 + n) //
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}\right)$$
Limit(sin((1 + n)/(2 + n)^4)/sin(n/(1 + n)^4), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{4 n}{\left(n + 1\right)^{5}} + \frac{1}{\left(n + 1\right)^{4}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)} \cos{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}{\left(- \frac{4 \left(n + 1\right)}{\left(n + 2\right)^{5}} + \frac{1}{\left(n + 2\right)^{4}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)} \cos{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{4 n \sin^{2}{\left(\frac{n}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} + \frac{1}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} \right)}}{n^{5} + 5 n^{4} + 10 n^{3} + 10 n^{2} + 5 n + 1} + \frac{\sin^{2}{\left(\frac{n}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} + \frac{1}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} \right)}}{n^{4} + 4 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 1}}{\left(- \frac{4 n}{n^{5} + 10 n^{4} + 40 n^{3} + 80 n^{2} + 80 n + 32} - \frac{4}{n^{5} + 10 n^{4} + 40 n^{3} + 80 n^{2} + 80 n + 32} + \frac{1}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16}\right) \sin^{2}{\left(\frac{n}{n^{4} + 4 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 1} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{4 n \sin^{2}{\left(\frac{n}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} + \frac{1}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} \right)}}{n^{5} + 5 n^{4} + 10 n^{3} + 10 n^{2} + 5 n + 1} + \frac{\sin^{2}{\left(\frac{n}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} + \frac{1}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} \right)}}{n^{4} + 4 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 1}}{\left(- \frac{4 n}{n^{5} + 10 n^{4} + 40 n^{3} + 80 n^{2} + 80 n + 32} - \frac{4}{n^{5} + 10 n^{4} + 40 n^{3} + 80 n^{2} + 80 n + 32} + \frac{1}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16}\right) \sin^{2}{\left(\frac{n}{n^{4} + 4 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 1} \right)}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{4 n}{\left(n + 1\right)^{5}} + \frac{1}{\left(n + 1\right)^{4}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)} \cos{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}{\left(- \frac{4 \left(n + 1\right)}{\left(n + 2\right)^{5}} + \frac{1}{\left(n + 2\right)^{4}}\right) \sin^{2}{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)} \cos{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{4 n \sin^{2}{\left(\frac{n}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} + \frac{1}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} \right)}}{n^{5} + 5 n^{4} + 10 n^{3} + 10 n^{2} + 5 n + 1} + \frac{\sin^{2}{\left(\frac{n}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} + \frac{1}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} \right)}}{n^{4} + 4 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 1}}{\left(- \frac{4 n}{n^{5} + 10 n^{4} + 40 n^{3} + 80 n^{2} + 80 n + 32} - \frac{4}{n^{5} + 10 n^{4} + 40 n^{3} + 80 n^{2} + 80 n + 32} + \frac{1}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16}\right) \sin^{2}{\left(\frac{n}{n^{4} + 4 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 1} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{- \frac{4 n \sin^{2}{\left(\frac{n}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} + \frac{1}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} \right)}}{n^{5} + 5 n^{4} + 10 n^{3} + 10 n^{2} + 5 n + 1} + \frac{\sin^{2}{\left(\frac{n}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} + \frac{1}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16} \right)}}{n^{4} + 4 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 1}}{\left(- \frac{4 n}{n^{5} + 10 n^{4} + 40 n^{3} + 80 n^{2} + 80 n + 32} - \frac{4}{n^{5} + 10 n^{4} + 40 n^{3} + 80 n^{2} + 80 n + 32} + \frac{1}{n^{4} + 8 n^{3} + 24 n^{2} + 32 n + 16}\right) \sin^{2}{\left(\frac{n}{n^{4} + 4 n^{3} + 6 n^{2} + 4 n + 1} \right)}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(\frac{2}{81} \right)}}{\sin{\left(\frac{1}{16} \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(\frac{2}{81} \right)}}{\sin{\left(\frac{1}{16} \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(\frac{2}{81} \right)}}{\sin{\left(\frac{1}{16} \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}\right) = \frac{\sin{\left(\frac{2}{81} \right)}}{\sin{\left(\frac{1}{16} \right)}}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{n + 1}{\left(n + 2\right)^{4}} \right)}}{\sin{\left(\frac{n}{\left(n + 1\right)^{4}} \right)}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo