Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- (- uno +x^ cuatro)/(- uno +x^ tres - dos *x)
- ( menos 1 más x en el grado 4) dividir por ( menos 1 más x al cubo menos 2 multiplicar por x)
- ( menos uno más x en el grado cuatro) dividir por ( menos uno más x en el grado tres menos dos multiplicar por x)
- (-1+x4)/(-1+x3-2*x)
- -1+x4/-1+x3-2*x
- (-1+x⁴)/(-1+x³-2*x)
- (-1+x en el grado 4)/(-1+x en el grado 3-2*x)
- (-1+x^4)/(-1+x^3-2x)
- (-1+x4)/(-1+x3-2x)
- -1+x4/-1+x3-2x
- -1+x^4/-1+x^3-2x
- (-1+x^4) dividir por (-1+x^3-2*x)
-
Expresiones semejantes
- (-1+x^4)/(1+x^3-2*x)
- (-1+x^4)/(-1-x^3-2*x)
- (-1-x^4)/(-1+x^3-2*x)
- (1+x^4)/(-1+x^3-2*x)
- (-1+x^4)/(-1+x^3+2*x)
Límite de la función (-1+x^4)/(-1+x^3-2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4 \
| -1 + x |
lim |-------------|
x->-1+| 3 |
\-1 + x - 2*x/
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right)$$
Limit((-1 + x^4)/(-1 + x^3 - 2*x), x, -1)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} - x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 1}\right) = $$
$$- \frac{\left(-1 - 1\right) \left(1 + \left(-1\right)^{2}\right)}{-1 - \left(-1\right)^{2} + 1} = $$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = -4$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x + 1\right) \left(x^{2} - x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)}{- x^{2} + x + 1}\right) = $$
$$- \frac{\left(-1 - 1\right) \left(1 + \left(-1\right)^{2}\right)}{-1 - \left(-1\right)^{2} + 1} = $$
= -4
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = -4$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{4} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{3} - 2 x - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{x^{3} - 2 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{4 x^{3}}{3 x^{2} - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{4}{3 x^{2} - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{4}{3 x^{2} - 2}\right)$$
=
$$-4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{4} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -1^+}\left(x^{3} - 2 x - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{x^{3} - 2 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{4 x^{3}}{3 x^{2} - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{4}{3 x^{2} - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{4}{3 x^{2} - 2}\right)$$
=
$$-4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 4 \
| -1 + x |
lim |-------------|
x->-1+| 3 |
\-1 + x - 2*x/
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right)$$
-4
$$-4$$
= -4.0
/ 4 \
| -1 + x |
lim |-------------|
x->-1-| 3 |
\-1 + x - 2*x/
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right)$$
-4
$$-4$$
= -4.0
= -4.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = -4$$
Más detalles con x→-1 a la izquierda
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = -4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→-1 a la izquierda
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = -4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 1}{- 2 x + \left(x^{3} - 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico