Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((cuatro +x)/(uno +x))^(cinco + dos *x)
- ((4 más x) dividir por (1 más x)) en el grado (5 más 2 multiplicar por x)
- ((cuatro más x) dividir por (uno más x)) en el grado (cinco más dos multiplicar por x)
- ((4+x)/(1+x))(5+2*x)
- 4+x/1+x5+2*x
- ((4+x)/(1+x))^(5+2x)
- ((4+x)/(1+x))(5+2x)
- 4+x/1+x5+2x
- 4+x/1+x^5+2x
- ((4+x) dividir por (1+x))^(5+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((4-x)/(1+x))^(5+2*x)
- ((4+x)/(1-x))^(5+2*x)
- ((4+x)/(1+x))^(5-2*x)
Límite de la función ((4+x)/(1+x))^(5+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
5 + 2*x
/4 + x\
lim |-----|
x->oo\1 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
Limit(((4 + x)/(1 + x))^(5 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) + 3}{x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{3}{x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x + 1}\right)^{2 x + 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u + 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6} = e^{6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5} = e^{6}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) + 3}{x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{3}{x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x + 1}\right)^{2 x + 5}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x + 1}\right)^{2 x + 5}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u + 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{6} = e^{6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5} = e^{6}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5} = e^{6}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5} = 1024$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5} = 1024$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5} = \frac{78125}{128}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5} = \frac{78125}{128}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5} = e^{6}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5} = 1024$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5} = 1024$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5} = \frac{78125}{128}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5} = \frac{78125}{128}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right)^{2 x + 5} = e^{6}$$
Más detalles con x→-oo