Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- x^ dos /(uno -cos(seis *x))
- x al cuadrado dividir por (1 menos coseno de (6 multiplicar por x))
- x en el grado dos dividir por (uno menos coseno de (seis multiplicar por x))
- x2/(1-cos(6*x))
- x2/1-cos6*x
- x²/(1-cos(6*x))
- x en el grado 2/(1-cos(6*x))
- x^2/(1-cos(6x))
- x2/(1-cos(6x))
- x2/1-cos6x
- x^2/1-cos6x
- x^2 dividir por (1-cos(6*x))
-
Expresiones semejantes
- x^2/(1+cos(6*x))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(2*x)/(-sin(x)+cos(x))
- cos(5*x)^(4/x^2)
- cos(2*x)^tan(x/2)
- cos(4*x)/x^2
- cos(pi*x)^(1/log(1+x^4))
Límite de la función x^2/(1-cos(6*x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| x |
lim |------------|
x->0+\1 - cos(6*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right)$$
Limit(x^2/(1 - cos(6*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{2 \sin^{2}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)\right)^{2}}{2}$$
Sustituimos
$$u = 3 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{3 \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{\left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}}{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$\frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)\right)^{2}}{2} = \frac{\left(\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{3}\right)^{2}}{2}$$
=
$$\frac{1}{2 \cdot 9}$$
=
$$\frac{1}{18}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right) = \frac{1}{18}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{2 \sin^{2}{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)\right)^{2}}{2}$$
Sustituimos
$$u = 3 x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{3 \sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{3}$$
=
$$\frac{\left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}}{3}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$\frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(3 x \right)}}\right)\right)^{2}}{2} = \frac{\left(\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)}{3}\right)^{2}}{2}$$
=
$$\frac{1}{2 \cdot 9}$$
=
$$\frac{1}{18}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right) = \frac{1}{18}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(6 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(6 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{3 \sin{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x}{3}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{18 \cos{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{18}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{18}$$
=
$$\frac{1}{18}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(6 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(6 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{3 \sin{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x}{3}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{18 \cos{\left(6 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{18}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{18}$$
=
$$\frac{1}{18}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| x |
lim |------------|
x->0+\1 - cos(6*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right)$$
1/18
$$\frac{1}{18}$$
= 0.0555555555555556
/ 2 \
| x |
lim |------------|
x->0-\1 - cos(6*x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right)$$
1/18
$$\frac{1}{18}$$
= 0.0555555555555556
= 0.0555555555555556
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right) = \frac{1}{18}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right) = \frac{1}{18}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right) = - \frac{1}{-1 + \cos{\left(6 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right) = - \frac{1}{-1 + \cos{\left(6 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right) = \frac{1}{18}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right) = - \frac{1}{-1 + \cos{\left(6 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right) = - \frac{1}{-1 + \cos{\left(6 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{1 - \cos{\left(6 x \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico