Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- (- seis +x+x^ dos)/(- nueve +x^ dos)
- ( menos 6 más x más x al cuadrado ) dividir por ( menos 9 más x al cuadrado )
- ( menos seis más x más x en el grado dos) dividir por ( menos nueve más x en el grado dos)
- (-6+x+x2)/(-9+x2)
- -6+x+x2/-9+x2
- (-6+x+x²)/(-9+x²)
- (-6+x+x en el grado 2)/(-9+x en el grado 2)
- -6+x+x^2/-9+x^2
- (-6+x+x^2) dividir por (-9+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (-6+x+x^2)/(9+x^2)
- (6+x+x^2)/(-9+x^2)
- (-6-x+x^2)/(-9+x^2)
- (-6+x-x^2)/(-9+x^2)
- (-6+x+x^2)/(-9-x^2)
Límite de la función (-6+x+x^2)/(-9+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|-6 + x + x |
lim |-----------|
x->oo| 2 |
\ -9 + x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right)$$
Limit((-6 + x + x^2)/(-9 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 6 u^{2} + u + 1}{1 - 9 u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1 - 6 \cdot 0^{2}}{1 - 9 \cdot 0^{2}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 6 u^{2} + u + 1}{1 - 9 u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1 - 6 \cdot 0^{2}}{1 - 9 \cdot 0^{2}} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + x - 6\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 9\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x - 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + x - 6\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 9\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x - 6\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{2 x}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2\
|-6 + x + x |
lim |-----------|
x->-3+| 2 |
\ -9 + x /
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right)$$
5/6
$$\frac{5}{6}$$
= 0.833333333333333
/ 2\
|-6 + x + x |
lim |-----------|
x->-3-| 2 |
\ -9 + x /
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right)$$
5/6
$$\frac{5}{6}$$
= 0.833333333333333
= 0.833333333333333
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x - 6\right)}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico