Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- x^x*(uno +x)^(-x)*(uno +x)/x
- x en el grado x multiplicar por (1 más x) en el grado ( menos x) multiplicar por (1 más x) dividir por x
- x en el grado x multiplicar por (uno más x) en el grado ( menos x) multiplicar por (uno más x) dividir por x
- xx*(1+x)(-x)*(1+x)/x
- xx*1+x-x*1+x/x
- x^x(1+x)^(-x)(1+x)/x
- xx(1+x)(-x)(1+x)/x
- xx1+x-x1+x/x
- x^x1+x^-x1+x/x
- x^x*(1+x)^(-x)*(1+x) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- x^x*(1+x)^(x)*(1+x)/x
- x^x*(1-x)^(-x)*(1+x)/x
- x^x*(1+x)^(-x)*(1-x)/x
Límite de la función x^x*(1+x)^(-x)*(1+x)/x
Solución
Ha introducido
[src]
/ x -x \
|x *(1 + x) *(1 + x)|
lim |--------------------|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)}{x}\right)$$
Limit(((x^x*(1 + x)^(-x))*(1 + x))/x, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{x - 1} \left(x + 1\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right) \left(x + 1\right)^{- x}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{x - 1} \left(x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \log{\left(x \right)} + x^{x} + \frac{x^{x} \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{x^{x}}{x} - \frac{x^{x}}{x^{2}}}{\frac{x \left(x + 1\right)^{x}}{x + 1} + \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \log{\left(x \right)} + x^{x} + \frac{x^{x} \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{x^{x}}{x} - \frac{x^{x}}{x^{2}}}{\frac{x \left(x + 1\right)^{x}}{x + 1} + \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$e^{-1}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{x - 1} \left(x + 1\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right) \left(x + 1\right)^{- x}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{x - 1} \left(x + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \log{\left(x \right)} + x^{x} + \frac{x^{x} \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{x^{x}}{x} - \frac{x^{x}}{x^{2}}}{\frac{x \left(x + 1\right)^{x}}{x + 1} + \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \log{\left(x \right)} + x^{x} + \frac{x^{x} \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{x^{x}}{x} - \frac{x^{x}}{x^{2}}}{\frac{x \left(x + 1\right)^{x}}{x + 1} + \left(x + 1\right)^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}\right)$$
=
$$e^{-1}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)}{x}\right) = e^{-1}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)}{x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)}{x}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)}{x}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)}{x}\right) = e^{-1}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)}{x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)}{x}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)}{x}\right) = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{x} \left(x + 1\right)^{- x} \left(x + 1\right)}{x}\right) = e^{-1}$$
Más detalles con x→-oo