Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno + dos *x)/(cinco + dos *x))^(-x)
- ((1 más 2 multiplicar por x) dividir por (5 más 2 multiplicar por x)) en el grado ( menos x)
- ((uno más dos multiplicar por x) dividir por (cinco más dos multiplicar por x)) en el grado ( menos x)
- ((1+2*x)/(5+2*x))(-x)
- 1+2*x/5+2*x-x
- ((1+2x)/(5+2x))^(-x)
- ((1+2x)/(5+2x))(-x)
- 1+2x/5+2x-x
- 1+2x/5+2x^-x
- ((1+2*x) dividir por (5+2*x))^(-x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+2*x)/(5-2*x))^(-x)
- ((1-2*x)/(5+2*x))^(-x)
- ((1+2*x)/(5+2*x))^(x)
Límite de la función ((1+2*x)/(5+2*x))^(-x)
Solución
Ha introducido
[src]
-x
/1 + 2*x\
lim |-------|
x->oo\5 + 2*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x}$$
Limit(((1 + 2*x)/(5 + 2*x))^(-x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 5\right) - 4}{2 x + 5}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{2 x + 5} + \frac{2 x + 5}{2 x + 5}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{2 x + 5}\right)^{- x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 5}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{2 x + 5}\right)^{- x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + \frac{5}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{2}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 5\right) - 4}{2 x + 5}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{4}{2 x + 5} + \frac{2 x + 5}{2 x + 5}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{2 x + 5}\right)^{- x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 5}{-4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{4}{2 x + 5}\right)^{- x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u + \frac{5}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{2}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5}{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{2} = e^{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x} = e^{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x} = e^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x} = \frac{7}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x} = \frac{7}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x} = \frac{7}{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x} = \frac{7}{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 5}\right)^{- x} = e^{2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico