Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- ((cinco +x)/x)^(x/ tres)
- ((5 más x) dividir por x) en el grado (x dividir por 3)
- ((cinco más x) dividir por x) en el grado (x dividir por tres)
- ((5+x)/x)(x/3)
- 5+x/xx/3
- 5+x/x^x/3
- ((5+x) dividir por x)^(x dividir por 3)
-
Expresiones semejantes
- ((5-x)/x)^(x/3)
Límite de la función ((5+x)/x)^(x/3)
Solución
Ha introducido
[src]
x
-
3
/5 + x\
lim |-----|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}}$$
Limit(((5 + x)/x)^(x/3), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{\frac{x}{3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{3}} = e^{\frac{5}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}} = e^{\frac{5}{3}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{\frac{x}{3}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{\frac{x}{3}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{3}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{3}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{3}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{3}} = e^{\frac{5}{3}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}} = e^{\frac{5}{3}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}} = e^{\frac{5}{3}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}} = \sqrt[3]{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}} = \sqrt[3]{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}} = e^{\frac{5}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}} = \sqrt[3]{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}} = \sqrt[3]{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 5}{x}\right)^{\frac{x}{3}} = e^{\frac{5}{3}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico