Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
- Límite de (-1+x^m)/(-1+x^n)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (x/(tres +x))^(cuatro + cuatro *x)
- (x dividir por (3 más x)) en el grado (4 más 4 multiplicar por x)
- (x dividir por (tres más x)) en el grado (cuatro más cuatro multiplicar por x)
- (x/(3+x))(4+4*x)
- x/3+x4+4*x
- (x/(3+x))^(4+4x)
- (x/(3+x))(4+4x)
- x/3+x4+4x
- x/3+x^4+4x
- (x dividir por (3+x))^(4+4*x)
-
Expresiones semejantes
- (x/(3+x))^(4-4*x)
- (x/(3-x))^(4+4*x)
Límite de la función (x/(3+x))^(4+4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
4 + 4*x
/ x \
lim |-----|
x->oo\3 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{4 x + 4}$$
Limit((x/(3 + x))^(4 + 4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{4 x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{4 x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 3}{x + 3}\right)^{4 x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{4 x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 3}\right)^{4 x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 3}\right)^{4 x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 12 u - 8}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 12 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 12 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 12 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-12}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-12} = e^{-12}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{4 x + 4} = e^{-12}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{4 x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{4 x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 3\right) - 3}{x + 3}\right)^{4 x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3}\right)^{4 x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 3}\right)^{4 x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 3}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 3}\right)^{4 x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 12 u - 8}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 12 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 12 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 12 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-12}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-12} = e^{-12}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x + 3}\right)^{4 x + 4} = e^{-12}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica