Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de -6+8*x/3
- Límite de (-2+x+x^2)/(2+x^2-3*x)
-
Límite de x^(1/log(-1+e^x))
-
Límite de x^(1-x)
-
Expresiones idénticas
- (tres +n)/(uno +n)^ nueve
- (3 más n) dividir por (1 más n) en el grado 9
- (tres más n) dividir por (uno más n) en el grado nueve
- (3+n)/(1+n)9
- 3+n/1+n9
- (3+n)/(1+n)⁹
- 3+n/1+n^9
- (3+n) dividir por (1+n)^9
-
Expresiones semejantes
- (3-n)/(1+n)^9
- (3+n)/(1-n)^9
Límite de la función (3+n)/(1+n)^9
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 + n \
lim |--------|
n->oo| 9|
\(1 + n) /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right)$$
Limit((3 + n)/(1 + n)^9, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^9:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{n^{8}} + \frac{3}{n^{9}}}{1 + \frac{9}{n} + \frac{36}{n^{2}} + \frac{84}{n^{3}} + \frac{126}{n^{4}} + \frac{126}{n^{5}} + \frac{84}{n^{6}} + \frac{36}{n^{7}} + \frac{9}{n^{8}} + \frac{1}{n^{9}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{n^{8}} + \frac{3}{n^{9}}}{1 + \frac{9}{n} + \frac{36}{n^{2}} + \frac{84}{n^{3}} + \frac{126}{n^{4}} + \frac{126}{n^{5}} + \frac{84}{n^{6}} + \frac{36}{n^{7}} + \frac{9}{n^{8}} + \frac{1}{n^{9}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{9} + u^{8}}{u^{9} + 9 u^{8} + 36 u^{7} + 84 u^{6} + 126 u^{5} + 126 u^{4} + 84 u^{3} + 36 u^{2} + 9 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{8} + 3 \cdot 0^{9}}{0^{9} + 0 \cdot 9 + 9 \cdot 0^{8} + 36 \cdot 0^{2} + 36 \cdot 0^{7} + 84 \cdot 0^{3} + 84 \cdot 0^{6} + 126 \cdot 0^{4} + 126 \cdot 0^{5} + 1} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right) = 0$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^9:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{n^{8}} + \frac{3}{n^{9}}}{1 + \frac{9}{n} + \frac{36}{n^{2}} + \frac{84}{n^{3}} + \frac{126}{n^{4}} + \frac{126}{n^{5}} + \frac{84}{n^{6}} + \frac{36}{n^{7}} + \frac{9}{n^{8}} + \frac{1}{n^{9}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{n^{8}} + \frac{3}{n^{9}}}{1 + \frac{9}{n} + \frac{36}{n^{2}} + \frac{84}{n^{3}} + \frac{126}{n^{4}} + \frac{126}{n^{5}} + \frac{84}{n^{6}} + \frac{36}{n^{7}} + \frac{9}{n^{8}} + \frac{1}{n^{9}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u^{9} + u^{8}}{u^{9} + 9 u^{8} + 36 u^{7} + 84 u^{6} + 126 u^{5} + 126 u^{4} + 84 u^{3} + 36 u^{2} + 9 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{0^{8} + 3 \cdot 0^{9}}{0^{9} + 0 \cdot 9 + 9 \cdot 0^{8} + 36 \cdot 0^{2} + 36 \cdot 0^{7} + 84 \cdot 0^{3} + 84 \cdot 0^{6} + 126 \cdot 0^{4} + 126 \cdot 0^{5} + 1} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n + 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 1\right)^{9} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n + 3\right)}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{9}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{9 \left(n^{8} + 8 n^{7} + 28 n^{6} + 56 n^{5} + 70 n^{4} + 56 n^{3} + 28 n^{2} + 8 n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{9 \left(n^{8} + 8 n^{7} + 28 n^{6} + 56 n^{5} + 70 n^{4} + 56 n^{3} + 28 n^{2} + 8 n + 1\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n + 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 1\right)^{9} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n + 3\right)}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{9}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{9 \left(n^{8} + 8 n^{7} + 28 n^{6} + 56 n^{5} + 70 n^{4} + 56 n^{3} + 28 n^{2} + 8 n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{9 \left(n^{8} + 8 n^{7} + 28 n^{6} + 56 n^{5} + 70 n^{4} + 56 n^{3} + 28 n^{2} + 8 n + 1\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right) = 0$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right) = 3$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right) = 3$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right) = \frac{1}{128}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right) = \frac{1}{128}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right) = 3$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right) = 3$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right) = \frac{1}{128}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right) = \frac{1}{128}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n + 3}{\left(n + 1\right)^{9}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo