Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 3 x + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{2 x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- 2 x} \left(3 x + \left(x^{2} + 1\right)\right)\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} + 3 x + 1\right) e^{- 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 3 x + 1\right)}{\frac{d}{d x} e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x + 3\right) e^{- 2 x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + 3\right)}{\frac{d}{d x} 2 e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- 2 x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- 2 x}}{2}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)