Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((2+2*x^2)/(1+2*x^2))^(x^2)
-
Límite de (2-cos(3*x))^(1/log(1+x^2))
-
Límite de (2-4*x)/(sqrt(x)-sqrt(2)/2)
-
Límite de ((9+x)/x)^x
-
Expresiones idénticas
- ((dos +n)/(tres +n))^n
- ((2 más n) dividir por (3 más n)) en el grado n
- ((dos más n) dividir por (tres más n)) en el grado n
- ((2+n)/(3+n))n
- 2+n/3+nn
- 2+n/3+n^n
- ((2+n) dividir por (3+n))^n
-
Expresiones semejantes
- ((2+n)/(3-n))^n
- ((2-n)/(3+n))^n
Límite de la función ((2+n)/(3+n))^n
Solución
Ha introducido
[src]
n
/2 + n\
lim |-----|
n->oo\3 + n/
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n}$$
Limit(((2 + n)/(3 + n))^n, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n + 3\right) - 1}{n + 3}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{1}{n + 3} + \frac{n + 3}{n + 3}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 3}\right)^{n}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n + 3}{-1}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 3}\right)^{n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n} = e^{-1}$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n + 3\right) - 1}{n + 3}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{1}{n + 3} + \frac{n + 3}{n + 3}\right)^{n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 3}\right)^{n}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n + 3}{-1}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 3}\right)^{n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u - 3}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{3}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-1} = e^{-1}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n} = e^{-1}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n} = e^{-1}$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n} = \frac{3}{4}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n} = \frac{3}{4}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n} = e^{-1}$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n} = \frac{3}{4}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n} = \frac{3}{4}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n + 2}{n + 3}\right)^{n} = e^{-1}$$
Más detalles con n→-oo