Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 x^{6} + 3 x^{4} + 9\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(6 - 8 x^{7}\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{6} + \left(3 x^{4} + 9\right)}{6 - 8 x^{7}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{6} + 3 x^{4} + 9}{2 \left(3 - 4 x^{7}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 x^{6} + 3 x^{4} + 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 - 8 x^{7}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{30 x^{5} + 12 x^{3}}{56 x^{6}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(30 x^{5} + 12 x^{3}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 56 x^{6}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{150 x^{4} + 36 x^{2}}{336 x^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(150 x^{4} + 36 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 336 x^{5}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{600 x^{3} + 72 x}{1680 x^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(600 x^{3} + 72 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 1680 x^{4}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1800 x^{2} + 72}{6720 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(1800 x^{2} + 72\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 6720 x^{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5}{28 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5}{28 x}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 5 vez (veces)