Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+x-2*x^2+2*x^3)/(-3+x^3-x^2+3*x)
-
Límite de (x^3-4*x^2+28*x)/(-1+x+3*x^2+5*x^3)
-
Límite de ((2+x)/(-2+x))^x
-
Límite de ((2+x)/(1+x))^x
-
Expresiones idénticas
- ((dos +x)/(- dos +x))^(cinco *x)
- ((2 más x) dividir por ( menos 2 más x)) en el grado (5 multiplicar por x)
- ((dos más x) dividir por ( menos dos más x)) en el grado (cinco multiplicar por x)
- ((2+x)/(-2+x))(5*x)
- 2+x/-2+x5*x
- ((2+x)/(-2+x))^(5x)
- ((2+x)/(-2+x))(5x)
- 2+x/-2+x5x
- 2+x/-2+x^5x
- ((2+x) dividir por (-2+x))^(5*x)
-
Expresiones semejantes
- ((2+x)/(-2-x))^(5*x)
- ((2+x)/(2+x))^(5*x)
- ((2-x)/(-2+x))^(5*x)
Límite de la función ((2+x)/(-2+x))^(5*x)
Solución
Ha introducido
[src]
5*x
/2 + x \
lim |------|
x->oo\-2 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x}$$
Limit(((2 + x)/(-2 + x))^(5*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 2\right) + 4}{x - 2}\right)^{5 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}\right)^{5 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 2}\right)^{5 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 2}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 2}\right)^{5 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{20 u + 10}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{20 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{20 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{20 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{20}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{20} = e^{20}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x} = e^{20}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 2\right) + 4}{x - 2}\right)^{5 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}\right)^{5 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 2}\right)^{5 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 2}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 2}\right)^{5 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{20 u + 10}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{20 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{20 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{20 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{20}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{20} = e^{20}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x} = e^{20}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x} = e^{20}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x} = -243$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x} = -243$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x} = e^{20}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x} = -243$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x} = -243$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^{5 x} = e^{20}$$
Más detalles con x→-oo