Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de 1+1/x
-
Expresiones idénticas
- ((- dos + seis *x)/(uno + seis *x))^(uno +x/ dos)
- (( menos 2 más 6 multiplicar por x) dividir por (1 más 6 multiplicar por x)) en el grado (1 más x dividir por 2)
- (( menos dos más seis multiplicar por x) dividir por (uno más seis multiplicar por x)) en el grado (uno más x dividir por dos)
- ((-2+6*x)/(1+6*x))(1+x/2)
- -2+6*x/1+6*x1+x/2
- ((-2+6x)/(1+6x))^(1+x/2)
- ((-2+6x)/(1+6x))(1+x/2)
- -2+6x/1+6x1+x/2
- -2+6x/1+6x^1+x/2
- ((-2+6*x) dividir por (1+6*x))^(1+x dividir por 2)
-
Expresiones semejantes
- ((-2-6*x)/(1+6*x))^(1+x/2)
- ((-2+6*x)/(1-6*x))^(1+x/2)
- ((2+6*x)/(1+6*x))^(1+x/2)
- ((-2+6*x)/(1+6*x))^(1-x/2)
Límite de la función ((-2+6*x)/(1+6*x))^(1+x/2)
Solución
Ha introducido
[src]
x
1 + -
2
/-2 + 6*x\
lim |--------|
x->oo\1 + 6*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1}$$
Limit(((-2 + 6*x)/(1 + 6*x))^(1 + x/2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(6 x + 1\right) - 3}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{6 x + 1} + \frac{6 x + 1}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{6 x + 1}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{12} - \frac{u}{4}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{12}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{4}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{12}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{4}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{4}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt[4]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt[4]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{4}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1} = e^{- \frac{1}{4}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(6 x + 1\right) - 3}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{6 x + 1} + \frac{6 x + 1}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{6 x + 1}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{12} - \frac{u}{4}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{12}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{4}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{11}{12}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{4}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- \frac{u}{4}}$$
=
$$\frac{1}{\sqrt[4]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\frac{1}{\sqrt[4]{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}} = e^{- \frac{1}{4}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1} = e^{- \frac{1}{4}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1} = e^{- \frac{1}{4}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1} = -2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1} = -2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1} = \frac{8 \sqrt{7}}{49}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1} = \frac{8 \sqrt{7}}{49}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1} = e^{- \frac{1}{4}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1} = -2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1} = -2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1} = \frac{8 \sqrt{7}}{49}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1} = \frac{8 \sqrt{7}}{49}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{6 x - 2}{6 x + 1}\right)^{\frac{x}{2} + 1} = e^{- \frac{1}{4}}$$
Más detalles con x→-oo