Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + 5 x + 4\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + 5\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x + \left(x^{2} + 4\right)}{x + 5}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 5 x + 4}{x + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 5 x + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(x + 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x + 5\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x + 5\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)