Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(5 x - e^{\sin{\left(5 x \right)}} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(5 x e^{\sin{\left(5 x \right)}} - 5 x\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{e^{\sin{\left(5 x \right)}} - 1} - \frac{1}{5 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 x - e^{\sin{\left(5 x \right)}} + 1}{5 x \left(e^{\sin{\left(5 x \right)}} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 x - e^{\sin{\left(5 x \right)}} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(5 x e^{\sin{\left(5 x \right)}} - 5 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 5 e^{\sin{\left(5 x \right)}} \cos{\left(5 x \right)} + 5}{25 x e^{\sin{\left(5 x \right)}} \cos{\left(5 x \right)} + 5 e^{\sin{\left(5 x \right)}} - 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 5 e^{\sin{\left(5 x \right)}} \cos{\left(5 x \right)} + 5}{25 x e^{\sin{\left(5 x \right)}} \cos{\left(5 x \right)} + 5 e^{\sin{\left(5 x \right)}} - 5}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)