Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(2^{n} n\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} 3^{n} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(3^{- n} 2^{n} n\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(2^{n} 3^{- n} n\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 2^{n} n}{\frac{d}{d n} 3^{n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- n} \left(2^{n} n \log{\left(2 \right)} + 2^{n}\right)}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- n} \left(2^{n} n \log{\left(2 \right)} + 2^{n}\right)}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)