Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (uno +n)^ tres /n^ tres
- (1 más n) al cubo dividir por n al cubo
- (uno más n) en el grado tres dividir por n en el grado tres
- (1+n)3/n3
- 1+n3/n3
- (1+n)³/n³
- (1+n) en el grado 3/n en el grado 3
- 1+n^3/n^3
- (1+n)^3 dividir por n^3
-
Expresiones semejantes
- (1-n)^3/n^3
- 3^(-n)*3^(1+n)*(1+n)^3/n^3
- 3^n*3^(-1-n)*(1+n)^3/n^3
Límite de la función (1+n)^3/n^3
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3\
|(1 + n) |
lim |--------|
n->oo| 3 |
\ n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right)$$
Limit((1 + n)^3/n^3, n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^3:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}}{1}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1\right)$$
=
$$0^{3} + 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0^{2} + 1 = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^3:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}}{1}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1\right)$$
=
$$0^{3} + 0 \cdot 3 + 3 \cdot 0^{2} + 1 = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{3} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1\right)}{\frac{d}{d n} n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{2} + 6 n + 3}{3 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(3 n^{2} + 6 n + 3\right)}{\frac{d}{d n} 3 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{6 n + 6}{6 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(6 n + 6\right)}{\frac{d}{d n} 6 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{3} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1\right)}{\frac{d}{d n} n^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3 n^{2} + 6 n + 3}{3 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(3 n^{2} + 6 n + 3\right)}{\frac{d}{d n} 3 n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{6 n + 6}{6 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(6 n + 6\right)}{\frac{d}{d n} 6 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right) = 8$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right) = 8$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right) = 8$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right) = 8$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{3}}{n^{3}}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico