Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x^{6} + 5 x - 4\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{2} + 11 x - 7\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{2} + \left(x^{7} - 4 x\right)}{11 x + \left(3 x^{2} - 7\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x^{6} + 5 x - 4\right)}{3 x^{2} + 11 x - 7}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x^{6} + 5 x - 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 11 x - 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7 x^{6} + 10 x - 4}{6 x + 11}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7 x^{6} + 10 x - 4}{6 x + 11}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)