Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 4^+}\left(x^{2} - 11 x + 28\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 4^+}\left(x^{3} - 64\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{- 11 x + \left(x^{2} + 28\right)}{x^{3} - 64}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{3} - 64}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 11 x + 28\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 64\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{2 x - 11}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{x}{24} - \frac{11}{48}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{x}{24} - \frac{11}{48}\right)$$
=
$$- \frac{1}{16}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)