Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-12+x+x^2)/(sqrt(-2+x)-sqrt(4-x))
-
Límite de (5+x^2)/(-3+x^2)
-
Límite de (-2+sqrt(1+x))/(-1+sqrt(-2+x))
-
Límite de (6-11*x+3*x^2)/(-3-5*x+2*x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((uno + cuatro *x)/(- cuatro + cuatro *x))^(siete + dos *x)
- ((1 más 4 multiplicar por x) dividir por ( menos 4 más 4 multiplicar por x)) en el grado (7 más 2 multiplicar por x)
- ((uno más cuatro multiplicar por x) dividir por ( menos cuatro más cuatro multiplicar por x)) en el grado (siete más dos multiplicar por x)
- ((1+4*x)/(-4+4*x))(7+2*x)
- 1+4*x/-4+4*x7+2*x
- ((1+4x)/(-4+4x))^(7+2x)
- ((1+4x)/(-4+4x))(7+2x)
- 1+4x/-4+4x7+2x
- 1+4x/-4+4x^7+2x
- ((1+4*x) dividir por (-4+4*x))^(7+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+4*x)/(-4+4*x))^(7-2*x)
- ((1+4*x)/(-4-4*x))^(7+2*x)
- ((1+4*x)/(4+4*x))^(7+2*x)
- ((1-4*x)/(-4+4*x))^(7+2*x)
Límite de la función ((1+4*x)/(-4+4*x))^(7+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
7 + 2*x
/1 + 4*x \
lim |--------|
x->oo\-4 + 4*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7}$$
Limit(((1 + 4*x)/(-4 + 4*x))^(7 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(4 x - 4\right) + 5}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x - 4}{4 x - 4} + \frac{5}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 x - 4}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{2} + 9}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{2}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{2}} = e^{\frac{5}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7} = e^{\frac{5}{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(4 x - 4\right) + 5}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x - 4}{4 x - 4} + \frac{5}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{4 x - 4}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{2} + 9}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{5 u}{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{2}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{5}{2}} = e^{\frac{5}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7} = e^{\frac{5}{2}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7} = e^{\frac{5}{2}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7} = - \frac{1}{16384}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7} = - \frac{1}{16384}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7} = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7} = e^{\frac{5}{2}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7} = - \frac{1}{16384}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7} = - \frac{1}{16384}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7} = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7} = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4 x + 1}{4 x - 4}\right)^{2 x + 7} = e^{\frac{5}{2}}$$
Más detalles con x→-oo