Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+} \sin^{2}{\left(x^{2} - 4 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(2^{x - 2} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x^{2} - 4 \right)}}{2^{x - 2} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(x^{2} - 4 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(2^{x - 2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{4 \cdot 2^{2 - x} x \sin{\left(x^{2} - 4 \right)} \cos{\left(x^{2} - 4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{8 \cdot 2^{2 - x} 2^{x - 2} \sin{\left(x^{2} - 4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{8 \cdot 2^{x - 2} \sin{\left(x^{2} - 4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}}{\frac{d}{d x} 2^{x - 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2^{2 - x} \left(\frac{16 \cdot 2^{x - 2} x \cos{\left(x^{2} - 4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 8 \cdot 2^{x - 2} \sin{\left(x^{2} - 4 \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{4 \cdot 2^{x} x \cos{\left(x^{2} - 4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 2 \cdot 2^{x} \sin{\left(x^{2} - 4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{4 \cdot 2^{x} x \cos{\left(x^{2} - 4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 2 \cdot 2^{x} \sin{\left(x^{2} - 4 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)