Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 1} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt[3]{x + 1} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{\sqrt[3]{x + 1} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 1} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt[3]{x + 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sqrt[6]{x + 1}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{2}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{2}$$
=
$$\frac{3}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)