Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{\frac{3}{2}} \left(n^{2} + 2\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{\frac{7}{2}} - 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n} \left(n^{3} + 2 n\right)}{n^{\frac{7}{2}} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{\frac{3}{2}} \left(n^{2} + 2\right)}{n^{\frac{7}{2}} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n^{\frac{3}{2}} \left(n^{2} + 2\right)}{\frac{d}{d n} \left(n^{\frac{7}{2}} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \left(\frac{7 n^{\frac{5}{2}}}{2} + 3 \sqrt{n}\right)}{7 n^{\frac{5}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \left(\frac{7 n^{\frac{5}{2}}}{2} + 3 \sqrt{n}\right)}{7 n^{\frac{5}{2}}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)