Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 2} \left(3 x + 5\right)}{\sqrt{x + 1}}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x + 2\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 2} \left(3 x + 5\right)}{\sqrt{x + 1} \left(3 x + 2\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 2} \left(3 x + 5\right)}{\sqrt{x + 1} \left(3 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sqrt{x + 2} \left(3 x + 5\right)}{\sqrt{x + 1}}}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x \sqrt{x + 2}}{2 \left(x \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}\right)} + \frac{x}{2 \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 2}} - \frac{5 \sqrt{x + 2}}{6 \left(x \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}\right)} + \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{5}{6 \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x \sqrt{x + 2}}{2 \left(x \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}\right)} + \frac{x}{2 \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 2}} - \frac{5 \sqrt{x + 2}}{6 \left(x \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}\right)} + \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{5}{6 \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)