Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
- Límite de (-2*sin(a+x)+sin(a)+sin(a+2*x))/x^2
-
Límite de (1-cos(6*x))/(x*sin(3*x))
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1+3/x)^(-x)
-
Expresiones idénticas
- ((tres + dos *x)/(uno + dos *x))^(- siete + cuatro *x)
- ((3 más 2 multiplicar por x) dividir por (1 más 2 multiplicar por x)) en el grado ( menos 7 más 4 multiplicar por x)
- ((tres más dos multiplicar por x) dividir por (uno más dos multiplicar por x)) en el grado ( menos siete más cuatro multiplicar por x)
- ((3+2*x)/(1+2*x))(-7+4*x)
- 3+2*x/1+2*x-7+4*x
- ((3+2x)/(1+2x))^(-7+4x)
- ((3+2x)/(1+2x))(-7+4x)
- 3+2x/1+2x-7+4x
- 3+2x/1+2x^-7+4x
- ((3+2*x) dividir por (1+2*x))^(-7+4*x)
-
Expresiones semejantes
- ((3-2*x)/(1+2*x))^(-7+4*x)
- ((3+2*x)/(1+2*x))^(7+4*x)
- ((3+2*x)/(1-2*x))^(-7+4*x)
- ((3+2*x)/(1+2*x))^(-7-4*x)
Límite de la función ((3+2*x)/(1+2*x))^(-7+4*x)
Solución
Ha introducido
[src]
-7 + 4*x
/3 + 2*x\
lim |-------|
x->oo\1 + 2*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7}$$
Limit(((3 + 2*x)/(1 + 2*x))^(-7 + 4*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 1\right) + 2}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u - 9}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4} = e^{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7} = e^{4}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 1\right) + 2}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u - 9}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{9}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{4} = e^{4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7} = e^{4}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7} = e^{4}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7} = \frac{1}{2187}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7} = \frac{1}{2187}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7} = \frac{27}{125}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7} = \frac{27}{125}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7} = e^{4}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7} = \frac{1}{2187}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7} = \frac{1}{2187}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7} = \frac{27}{125}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7} = \frac{27}{125}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{4 x - 7} = e^{4}$$
Más detalles con x→-oo