Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x y + \left(x^{2} + 2 y^{2}\right)}{x}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x y + \left(x^{2} + 2 y^{2}\right)}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + 4 x y + 2 y^{2}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x + 4 y + \frac{2 y^{2}}{x}\right) = $$
$$\frac{2 y^{2}}{0} + 4 y = $$
= oo*sign(y^2)
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x y + \left(x^{2} + 2 y^{2}\right)}{x}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(y^{2} \right)}$$