Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x^{5} - 7 x^{4} + 2 x - 3\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(6 x^{3} - 12 x^{2} - 6\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{5} + \left(2 x + \left(- 7 x^{4} - 3\right)\right)}{6 x^{3} + \left(- 12 x^{2} - 6\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x^{5} - 7 x^{4} + 2 x - 3}{6 \left(x^{3} - 2 x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{5} - 7 x^{4} + 2 x - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(6 x^{3} - 12 x^{2} - 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 x^{4} - 28 x^{3} + 2}{18 x^{2} - 24 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(10 x^{4} - 28 x^{3} + 2\right)}{\frac{d}{d x} \left(18 x^{2} - 24 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{40 x^{3} - 84 x^{2}}{36 x - 24}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(40 x^{3} - 84 x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(36 x - 24\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 x^{2}}{3} - \frac{14 x}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{10 x^{2}}{3} - \frac{14 x}{3}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)