Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 4 x^{3} + 30 x^{2} - 76 x + 65\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 8 x^{3} - 8 x\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(2 - x\right)^{4} + \left(3 - x\right)^{4}}{\left(1 - x\right)^{4} - \left(x + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 4 x^{3} + 30 x^{2} - 76 x + 65\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 8 x^{3} - 8 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 12 x^{2} + 60 x - 76}{- 24 x^{2} - 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 12 x^{2} + 60 x - 76\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 24 x^{2} - 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{60 - 24 x}{48 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(60 - 24 x\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 48 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)