Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left(2 - x\right)^{4} + \left(x + 3\right)^{4}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(1 - x\right)^{4} - \left(x + 1\right)^{4}\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(2 - x\right)^{4} + \left(x + 3\right)^{4}}{\left(1 - x\right)^{4} - \left(x + 1\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \left(2 - x\right)^{4} + \left(x + 3\right)^{4}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\left(1 - x\right)^{4} - \left(x + 1\right)^{4}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \left(2 - x\right)^{3} + 4 \left(x + 3\right)^{3}}{- 4 \left(1 - x\right)^{3} - 4 \left(x + 1\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 \left(2 - x\right)^{3} + 4 \left(x + 3\right)^{3}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 4 \left(1 - x\right)^{3} - 4 \left(x + 1\right)^{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 12 \left(2 - x\right)^{2} + 12 \left(x + 3\right)^{2}}{12 \left(1 - x\right)^{2} - 12 \left(x + 1\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 12 \left(2 - x\right)^{2} + 12 \left(x + 3\right)^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(12 \left(1 - x\right)^{2} - 12 \left(x + 1\right)^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{5}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{5}{2}$$
=
$$- \frac{5}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)