Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- ((cuatro + ocho *x)/(uno + ocho *x))^(- uno + siete *x)
- ((4 más 8 multiplicar por x) dividir por (1 más 8 multiplicar por x)) en el grado ( menos 1 más 7 multiplicar por x)
- ((cuatro más ocho multiplicar por x) dividir por (uno más ocho multiplicar por x)) en el grado ( menos uno más siete multiplicar por x)
- ((4+8*x)/(1+8*x))(-1+7*x)
- 4+8*x/1+8*x-1+7*x
- ((4+8x)/(1+8x))^(-1+7x)
- ((4+8x)/(1+8x))(-1+7x)
- 4+8x/1+8x-1+7x
- 4+8x/1+8x^-1+7x
- ((4+8*x) dividir por (1+8*x))^(-1+7*x)
-
Expresiones semejantes
- ((4+8*x)/(1+8*x))^(1+7*x)
- ((4-8*x)/(1+8*x))^(-1+7*x)
- ((4+8*x)/(1-8*x))^(-1+7*x)
- ((4+8*x)/(1+8*x))^(-1-7*x)
Límite de la función ((4+8*x)/(1+8*x))^(-1+7*x)
Solución
Ha introducido
[src]
-1 + 7*x
/4 + 8*x\
lim |-------|
x->oo\1 + 8*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1}$$
Limit(((4 + 8*x)/(1 + 8*x))^(-1 + 7*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(8 x + 1\right) + 3}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x + 1}{8 x + 1} + \frac{3}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{8 x + 1}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{21 u}{8} - \frac{15}{8}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{21 u}{8}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{15}{8}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{15}{8}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{21 u}{8}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{21 u}{8}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{21}{8}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{21}{8}} = e^{\frac{21}{8}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1} = e^{\frac{21}{8}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(8 x + 1\right) + 3}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x + 1}{8 x + 1} + \frac{3}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{8 x + 1}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{21 u}{8} - \frac{15}{8}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{21 u}{8}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{15}{8}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{15}{8}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{21 u}{8}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{21 u}{8}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{21}{8}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{21}{8}} = e^{\frac{21}{8}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1} = e^{\frac{21}{8}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1} = e^{\frac{21}{8}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1} = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1} = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1} = \frac{4096}{729}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1} = \frac{4096}{729}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1} = e^{\frac{21}{8}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1} = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1} = \frac{1}{4}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1} = \frac{4096}{729}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1} = \frac{4096}{729}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{8 x + 4}{8 x + 1}\right)^{7 x - 1} = e^{\frac{21}{8}}$$
Más detalles con x→-oo