Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5}{x}\right)^{- x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5}{x + 1}\right)^{- x - 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{5}{x}\right)^{- x} \left(\frac{5}{x + 1}\right)^{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{5}{x}\right)^{- x}}{\frac{d}{d x} \left(\frac{5}{x + 1}\right)^{- x - 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(\frac{x \left(\frac{1}{x}\right)^{x}}{- 5 \left(\frac{1}{x + 1}\right)^{x} \log{\left(\frac{1}{x} \right)} - 5 \left(\frac{1}{x + 1}\right)^{x} \log{\left(5 \right)} + 5 \left(\frac{1}{x + 1}\right)^{x}} + \frac{\left(\frac{1}{x}\right)^{x}}{- 5 \left(\frac{1}{x + 1}\right)^{x} \log{\left(\frac{1}{x} \right)} - 5 \left(\frac{1}{x + 1}\right)^{x} \log{\left(5 \right)} + 5 \left(\frac{1}{x + 1}\right)^{x}}\right) \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 1} - \log{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} - \log{\left(5 \right)} + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(\frac{x \left(\frac{1}{x}\right)^{x}}{- 5 \left(\frac{1}{x + 1}\right)^{x} \log{\left(\frac{1}{x} \right)} - 5 \left(\frac{1}{x + 1}\right)^{x} \log{\left(5 \right)} + 5 \left(\frac{1}{x + 1}\right)^{x}} + \frac{\left(\frac{1}{x}\right)^{x}}{- 5 \left(\frac{1}{x + 1}\right)^{x} \log{\left(\frac{1}{x} \right)} - 5 \left(\frac{1}{x + 1}\right)^{x} \log{\left(5 \right)} + 5 \left(\frac{1}{x + 1}\right)^{x}}\right) \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 1} - \log{\left(\frac{1}{x + 1} \right)} - \log{\left(5 \right)} + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1}\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)