Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de (1+1/x)^(3*x)
-
Expresiones idénticas
- (- ocho +x^ cuatro)/(uno + diez *x^ dos + veinticinco *x)
- ( menos 8 más x en el grado 4) dividir por (1 más 10 multiplicar por x al cuadrado más 25 multiplicar por x)
- ( menos ocho más x en el grado cuatro) dividir por (uno más diez multiplicar por x en el grado dos más veinticinco multiplicar por x)
- (-8+x4)/(1+10*x2+25*x)
- -8+x4/1+10*x2+25*x
- (-8+x⁴)/(1+10*x²+25*x)
- (-8+x en el grado 4)/(1+10*x en el grado 2+25*x)
- (-8+x^4)/(1+10x^2+25x)
- (-8+x4)/(1+10x2+25x)
- -8+x4/1+10x2+25x
- -8+x^4/1+10x^2+25x
- (-8+x^4) dividir por (1+10*x^2+25*x)
-
Expresiones semejantes
- (-8+x^4)/(1+10*x^2-25*x)
- (-8-x^4)/(1+10*x^2+25*x)
- (-8+x^4)/(1-10*x^2+25*x)
- (8+x^4)/(1+10*x^2+25*x)
Límite de la función (-8+x^4)/(1+10*x^2+25*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 4 \
| -8 + x |
lim |----------------|
x->oo| 2 |
\1 + 10*x + 25*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right)$$
Limit((-8 + x^4)/(1 + 10*x^2 + 25*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{8}{x^{4}}}{\frac{10}{x^{2}} + \frac{25}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{8}{x^{4}}}{\frac{10}{x^{2}} + \frac{25}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - 8 u^{4}}{u^{4} + 25 u^{3} + 10 u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1 - 8 \cdot 0^{4}}{0^{4} + 10 \cdot 0^{2} + 25 \cdot 0^{3}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{8}{x^{4}}}{\frac{10}{x^{2}} + \frac{25}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{8}{x^{4}}}{\frac{10}{x^{2}} + \frac{25}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{1 - 8 u^{4}}{u^{4} + 25 u^{3} + 10 u^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1 - 8 \cdot 0^{4}}{0^{4} + 10 \cdot 0^{2} + 25 \cdot 0^{3}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(10 x^{2} + 25 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8}{10 x^{2} + 25 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(10 x^{2} + 25 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3}}{20 x + 25}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 4 x^{3}}{\frac{d}{d x} \left(20 x + 25\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2}}{5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2}}{5}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 8\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(10 x^{2} + 25 x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8}{10 x^{2} + 25 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 8\right)}{\frac{d}{d x} \left(10 x^{2} + 25 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{3}}{20 x + 25}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 4 x^{3}}{\frac{d}{d x} \left(20 x + 25\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2}}{5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2}}{5}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right) = -8$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right) = -8$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{7}{36}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{7}{36}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right) = -8$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right) = -8$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{7}{36}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right) = - \frac{7}{36}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 8}{25 x + \left(10 x^{2} + 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo