Sr Examen
Límite de la función (e^(2+x)-e^(-4+x^2))/log(7+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
| 2 + x -4 + x |
|E - E |
lim |-----------------|
x->-2+\ log(7 + 3*x) /
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right)$$
Limit((E^(2 + x) - E^(-4 + x^2))/log(7 + 3*x), x, -2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -2^+}\left(e^{2} e^{x} - \frac{e^{x^{2}}}{e^{4}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -2^+} \log{\left(3 x + 7 \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{2} e^{x} - \frac{e^{x^{2}}}{e^{4}}\right)}{\frac{d}{d x} \log{\left(3 x + 7 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\left(x + \frac{7}{3}\right) \left(- \frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{4}} + e^{2} e^{x}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{2 x e^{x^{2}}}{3 e^{4}} + \frac{e^{2} e^{x}}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{2 x e^{x^{2}}}{3 e^{4}} + \frac{e^{2} e^{x}}{3}\right)$$
=
$$\frac{5}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -2^+}\left(e^{2} e^{x} - \frac{e^{x^{2}}}{e^{4}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -2^+} \log{\left(3 x + 7 \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{2} e^{x} - \frac{e^{x^{2}}}{e^{4}}\right)}{\frac{d}{d x} \log{\left(3 x + 7 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\left(x + \frac{7}{3}\right) \left(- \frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{4}} + e^{2} e^{x}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{2 x e^{x^{2}}}{3 e^{4}} + \frac{e^{2} e^{x}}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{2 x e^{x^{2}}}{3 e^{4}} + \frac{e^{2} e^{x}}{3}\right)$$
=
$$\frac{5}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right) = \frac{5}{3}$$
Más detalles con x→-2 a la izquierda
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right) = \frac{5}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right) = \frac{-1 + e^{6}}{e^{4} \log{\left(7 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right) = \frac{-1 + e^{6}}{e^{4} \log{\left(7 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right) = \frac{-1 + e^{6}}{e^{3} \log{\left(10 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right) = \frac{-1 + e^{6}}{e^{3} \log{\left(10 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→-2 a la izquierda
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right) = \frac{5}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right) = \frac{-1 + e^{6}}{e^{4} \log{\left(7 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right) = \frac{-1 + e^{6}}{e^{4} \log{\left(7 \right)}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right) = \frac{-1 + e^{6}}{e^{3} \log{\left(10 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right) = \frac{-1 + e^{6}}{e^{3} \log{\left(10 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2\
| 2 + x -4 + x |
|E - E |
lim |-----------------|
x->-2+\ log(7 + 3*x) /
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right)$$
5/3
$$\frac{5}{3}$$
= 1.66666666666667
/ 2\
| 2 + x -4 + x |
|E - E |
lim |-----------------|
x->-2-\ log(7 + 3*x) /
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{e^{x + 2} - e^{x^{2} - 4}}{\log{\left(3 x + 7 \right)}}\right)$$
5/3
$$\frac{5}{3}$$
= 1.66666666666667
= 1.66666666666667