Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-2+sqrt(1+x^2))/(-3+sqrt(6+x^2))
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(-4+x)
-
Límite de (-2*sin(5*x)+sin(3*x))/(2*sin(x))
-
Límite de ((1+n^3)/(-1+n^3))^(-n^3+2*n)
-
Expresiones idénticas
- ((uno +n^ tres)/(- uno +n^ tres))^(-n^ tres + dos *n)
- ((1 más n al cubo ) dividir por ( menos 1 más n al cubo )) en el grado ( menos n al cubo más 2 multiplicar por n)
- ((uno más n en el grado tres) dividir por ( menos uno más n en el grado tres)) en el grado ( menos n en el grado tres más dos multiplicar por n)
- ((1+n3)/(-1+n3))(-n3+2*n)
- 1+n3/-1+n3-n3+2*n
- ((1+n³)/(-1+n³))^(-n³+2*n)
- ((1+n en el grado 3)/(-1+n en el grado 3)) en el grado (-n en el grado 3+2*n)
- ((1+n^3)/(-1+n^3))^(-n^3+2n)
- ((1+n3)/(-1+n3))(-n3+2n)
- 1+n3/-1+n3-n3+2n
- 1+n^3/-1+n^3^-n^3+2n
- ((1+n^3) dividir por (-1+n^3))^(-n^3+2*n)
-
Expresiones semejantes
- ((1+n^3)/(-1+n^3))^(n^3+2*n)
- ((1+n^3)/(-1+n^3))^(-n^3-2*n)
- ((1+n^3)/(1+n^3))^(-n^3+2*n)
- ((1-n^3)/(-1+n^3))^(-n^3+2*n)
- ((1+n^3)/(-1-n^3))^(-n^3+2*n)
Límite de la función ((1+n^3)/(-1+n^3))^(-n^3+2*n)
Solución
Ha introducido
[src]
3
- n + 2*n
/ 3\
| 1 + n |
lim |-------|
n->oo| 3|
\-1 + n /
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n}$$
Limit(((1 + n^3)/(-1 + n^3))^(-n^3 + 2*n), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n^{3} - 1\right) + 2}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} - 1}{n^{3} - 1} + \frac{2}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n^{3} - 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}} = e^{\frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n} = e^{-1}$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n^{3} - 1\right) + 2}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} - 1}{n^{3} - 1} + \frac{2}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n^{3} - 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(1 + \frac{1}{u}\right) \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}} = e^{\frac{- 2 u + 2 \sqrt[3]{2 u + 1} - 2}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n} = e^{-1}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n} = e^{-1}$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n} = -\infty$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n} = \infty$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n} = e^{-1}$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n} = -\infty$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n} = \infty$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n^{3} + 1}{n^{3} - 1}\right)^{- n^{3} + 2 n} = e^{-1}$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico