Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(3 x \right)} - 2 \sin{\left(5 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \sin{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)} - 2 \sin{\left(5 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(3 x \right)} - 2 \sin{\left(5 x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(3 x \right)} - 2 \sin{\left(5 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \cos{\left(3 x \right)} - 10 \cos{\left(5 x \right)}}{2 \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{2} - 5 \cos{\left(5 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{2} - 5 \cos{\left(5 x \right)}\right)$$
=
$$- \frac{7}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)