Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de x/(-1+sqrt(1+3*x))
-
Límite de (-27+x^3)/(-9+x^2)
-
Límite de (-1-4*x+5*x^2)/(-1+x)
-
Expresiones idénticas
- ((- tres + dos *x)/(cinco + dos *x))^(uno + dos *x)
- (( menos 3 más 2 multiplicar por x) dividir por (5 más 2 multiplicar por x)) en el grado (1 más 2 multiplicar por x)
- (( menos tres más dos multiplicar por x) dividir por (cinco más dos multiplicar por x)) en el grado (uno más dos multiplicar por x)
- ((-3+2*x)/(5+2*x))(1+2*x)
- -3+2*x/5+2*x1+2*x
- ((-3+2x)/(5+2x))^(1+2x)
- ((-3+2x)/(5+2x))(1+2x)
- -3+2x/5+2x1+2x
- -3+2x/5+2x^1+2x
- ((-3+2*x) dividir por (5+2*x))^(1+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((-3+2*x)/(5+2*x))^(1-2*x)
- ((3+2*x)/(5+2*x))^(1+2*x)
- ((-3+2*x)/(5-2*x))^(1+2*x)
- ((-3-2*x)/(5+2*x))^(1+2*x)
Límite de la función ((-3+2*x)/(5+2*x))^(1+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
1 + 2*x
/-3 + 2*x\
lim |--------|
x->oo\5 + 2*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1}$$
Limit(((-3 + 2*x)/(5 + 2*x))^(1 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 5\right) - 8}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{8}{2 x + 5} + \frac{2 x + 5}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{8}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 5}{-8}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{8}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u - 4}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-8}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-8} = e^{-8}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1} = e^{-8}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 5\right) - 8}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{8}{2 x + 5} + \frac{2 x + 5}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{8}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 5}{-8}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{8}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u - 4}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 8 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-8}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-8} = e^{-8}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1} = e^{-8}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1} = e^{-8}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1} = - \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1} = - \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1} = - \frac{1}{343}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1} = - \frac{1}{343}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1} = e^{-8}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1} = - \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1} = - \frac{3}{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1} = - \frac{1}{343}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1} = - \frac{1}{343}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x - 3}{2 x + 5}\right)^{2 x + 1} = e^{-8}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico