Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (8+x^2-6*x)/(12+x^2-8*x)
-
Límite de (-2+sqrt(1+x))/(-1+sqrt(-2+x))
-
Límite de ((3+5*x)/(3+2*x))^(1/x)
-
Límite de (3-7*x+4*x^2)/(-1-2*x+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((tres +x)/(cinco +x))^(tres + dos *x)
- ((3 más x) dividir por (5 más x)) en el grado (3 más 2 multiplicar por x)
- ((tres más x) dividir por (cinco más x)) en el grado (tres más dos multiplicar por x)
- ((3+x)/(5+x))(3+2*x)
- 3+x/5+x3+2*x
- ((3+x)/(5+x))^(3+2x)
- ((3+x)/(5+x))(3+2x)
- 3+x/5+x3+2x
- 3+x/5+x^3+2x
- ((3+x) dividir por (5+x))^(3+2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((3+x)/(5+x))^(3-2*x)
- ((3-x)/(5+x))^(3+2*x)
- ((3+x)/(5-x))^(3+2*x)
Límite de la función ((3+x)/(5+x))^(3+2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
3 + 2*x
/3 + x\
lim |-----|
x->oo\5 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3}$$
Limit(((3 + x)/(5 + x))^(3 + 2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 5\right) - 2}{x + 5}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 5}\right)^{2 x + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 5}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 5}\right)^{2 x + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u - 7}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4} = e^{-4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3} = e^{-4}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 5\right) - 2}{x + 5}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5}\right)^{2 x + 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 5}\right)^{2 x + 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 5}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 5}\right)^{2 x + 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u - 7}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{7}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 4 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-4} = e^{-4}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3} = e^{-4}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3} = e^{-4}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3} = \frac{27}{125}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3} = \frac{27}{125}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3} = \frac{32}{243}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3} = \frac{32}{243}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3} = e^{-4}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3} = \frac{27}{125}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3} = \frac{27}{125}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3} = \frac{32}{243}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3} = \frac{32}{243}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{2 x + 3} = e^{-4}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico