Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(6 - x\right)^{2} - \left(x + 6\right)^{2}\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \left(1 - x\right)^{2} + \left(x + 6\right)^{2}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(6 - x\right)^{2} - \left(x + 6\right)^{2}}{- \left(1 - x\right)^{2} + \left(x + 6\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\left(6 - x\right)^{2} - \left(x + 6\right)^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- \left(1 - x\right)^{2} + \left(x + 6\right)^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{12}{7}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{12}{7}$$
=
$$- \frac{12}{7}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)