Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 8*x/(-4+x)
- Límite de (e^(a*x)-cos(a*x))/(e^(b*x)-cos(b*x))
-
Límite de (2^(2+x)+3^(3+x))/(2^x+3^x)
-
Límite de ((1-x)/(2-x))^(3*x)
-
Expresiones idénticas
- (e^(a*x)-cos(a*x))/(e^(b*x)-cos(b*x))
- (e en el grado (a multiplicar por x) menos coseno de (a multiplicar por x)) dividir por (e en el grado (b multiplicar por x) menos coseno de (b multiplicar por x))
- (e(a*x)-cos(a*x))/(e(b*x)-cos(b*x))
- ea*x-cosa*x/eb*x-cosb*x
- (e^(ax)-cos(ax))/(e^(bx)-cos(bx))
- (e(ax)-cos(ax))/(e(bx)-cos(bx))
- eax-cosax/ebx-cosbx
- e^ax-cosax/e^bx-cosbx
- (e^(a*x)-cos(a*x)) dividir por (e^(b*x)-cos(b*x))
-
Expresiones semejantes
- (e^(a*x)-cos(a*x))/(e^(b*x)+cos(b*x))
- (e^(a*x)+cos(a*x))/(e^(b*x)-cos(b*x))
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)/(pi-x)
- cos(x)^(sin(x)/2)
- cos(sqrt(1+x))/cos(sqrt(x))
- cos(3/x)^9
- cos(pi*x/(3+x^2))
- Coseno cos
- cos(x)/(pi-x)
- cos(x)^(sin(x)/2)
- cos(sqrt(1+x))/cos(sqrt(x))
- cos(3/x)^9
- cos(pi*x/(3+x^2))
Límite de la función (e^(a*x)-cos(a*x))/(e^(b*x)-cos(b*x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ a*x \
|E - cos(a*x)|
lim |---------------|
x->0+| b*x |
\E - cos(b*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right)$$
Limit((E^(a*x) - cos(a*x))/(E^(b*x) - cos(b*x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}\right)}{\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{a e^{a x} + a \sin{\left(a x \right)}}{b e^{b x} + b \sin{\left(b x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{a e^{a x} + a \sin{\left(a x \right)}}{b e^{b x} + b \sin{\left(b x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{a}{b}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}\right)}{\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{a e^{a x} + a \sin{\left(a x \right)}}{b e^{b x} + b \sin{\left(b x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{a e^{a x} + a \sin{\left(a x \right)}}{b e^{b x} + b \sin{\left(b x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{a}{b}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right) = \frac{a}{b}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right) = \frac{a}{b}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right) = \frac{- e^{a} + \cos{\left(a \right)}}{- e^{b} + \cos{\left(b \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right) = \frac{- e^{a} + \cos{\left(a \right)}}{- e^{b} + \cos{\left(b \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right) = \frac{a}{b}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right) = \frac{- e^{a} + \cos{\left(a \right)}}{- e^{b} + \cos{\left(b \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right) = \frac{- e^{a} + \cos{\left(a \right)}}{- e^{b} + \cos{\left(b \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ a*x \
|E - cos(a*x)|
lim |---------------|
x->0+| b*x |
\E - cos(b*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right)$$
a - b
$$\frac{a}{b}$$
/ a*x \
|E - cos(a*x)|
lim |---------------|
x->0-| b*x |
\E - cos(b*x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{e^{a x} - \cos{\left(a x \right)}}{e^{b x} - \cos{\left(b x \right)}}\right)$$
a - b
$$\frac{a}{b}$$
a/b