Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x^{3} - x^{2} - 8 x + 12\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x^{4} - 8 x^{2} + 16\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- 8 x + \left(- x^{2} + \left(x^{3} + 12\right)\right)}{- 8 x^{2} + \left(x^{4} + 16\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}{x^{4} - 8 x^{2} + 16}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - x^{2} - 8 x + 12\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 8 x^{2} + 16\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{4 x^{3} - 16 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{4 x^{3} - 16 x}\right)$$
=
$$\frac{5}{16}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)