Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1+1/x
-
Límite de (3-2*x)^(x/(1-x))
-
Límite de (sqrt(3+2*x)-sqrt(4+x))/(1-4*x+3*x^2)
-
Límite de (1-log(7*x))^(7*x)
-
Expresiones idénticas
- n*(dos +n)/(uno +n^ dos)
- n multiplicar por (2 más n) dividir por (1 más n al cuadrado )
- n multiplicar por (dos más n) dividir por (uno más n en el grado dos)
- n*(2+n)/(1+n2)
- n*2+n/1+n2
- n*(2+n)/(1+n²)
- n*(2+n)/(1+n en el grado 2)
- n(2+n)/(1+n^2)
- n(2+n)/(1+n2)
- n2+n/1+n2
- n2+n/1+n^2
- n*(2+n) dividir por (1+n^2)
-
Expresiones semejantes
- n*(2+n)/(1-n^2)
- n*(2-n)/(1+n^2)
Límite de la función n*(2+n)/(1+n^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/n*(2 + n)\
lim |---------|
n->oo| 2 |
\ 1 + n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right)$$
Limit((n*(2 + n))/(1 + n^2), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 1}{u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2 + 1}{0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u + 1}{u^{2} + 1}\right)$$
=
$$\frac{0 \cdot 2 + 1}{0^{2} + 1} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(n + 2\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n \left(n + 2\right)}{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 2}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 2}{2 n}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n \left(n + 2\right)\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n^{2} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n \left(n + 2\right)}{\frac{d}{d n} \left(n^{2} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 2}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 2}{2 n}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n \left(n + 2\right)}{n^{2} + 1}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo