Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de ((4+x)/(8+x))^(-3*x)
-
Límite de (-sin(3*x)+tan(3*x))/(2*x^2)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x^2))/(-4+sqrt(16+x^2))
-
Expresiones idénticas
- ((- siete + cinco *x)/(ocho + cinco *x))^(dos +x)
- (( menos 7 más 5 multiplicar por x) dividir por (8 más 5 multiplicar por x)) en el grado (2 más x)
- (( menos siete más cinco multiplicar por x) dividir por (ocho más cinco multiplicar por x)) en el grado (dos más x)
- ((-7+5*x)/(8+5*x))(2+x)
- -7+5*x/8+5*x2+x
- ((-7+5x)/(8+5x))^(2+x)
- ((-7+5x)/(8+5x))(2+x)
- -7+5x/8+5x2+x
- -7+5x/8+5x^2+x
- ((-7+5*x) dividir por (8+5*x))^(2+x)
-
Expresiones semejantes
- ((-7+5*x)/(8-5*x))^(2+x)
- ((-7+5*x)/(8+5*x))^(2-x)
- ((-7-5*x)/(8+5*x))^(2+x)
- ((7+5*x)/(8+5*x))^(2+x)
Límite de la función ((-7+5*x)/(8+5*x))^(2+x)
Solución
Ha introducido
[src]
2 + x
/-7 + 5*x\
lim |--------|
x->oo\8 + 5*x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2}$$
Limit(((-7 + 5*x)/(8 + 5*x))^(2 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 8\right) - 15}{5 x + 8}\right)^{x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{15}{5 x + 8} + \frac{5 x + 8}{5 x + 8}\right)^{x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{15}{5 x + 8}\right)^{x + 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 8}{-15}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{15}{5 x + 8}\right)^{x + 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{5} - 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{5}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{5}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2} = e^{-3}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x + 8\right) - 15}{5 x + 8}\right)^{x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{15}{5 x + 8} + \frac{5 x + 8}{5 x + 8}\right)^{x + 2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{15}{5 x + 8}\right)^{x + 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x + 8}{-15}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{15}{5 x + 8}\right)^{x + 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{5} - 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{5}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{2}{5}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 3 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-3} = e^{-3}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2} = e^{-3}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2} = e^{-3}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2} = \frac{49}{64}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2} = \frac{49}{64}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2} = - \frac{8}{2197}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2} = - \frac{8}{2197}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2} = e^{-3}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2} = \frac{49}{64}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2} = \frac{49}{64}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2} = - \frac{8}{2197}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2} = - \frac{8}{2197}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x - 7}{5 x + 8}\right)^{x + 2} = e^{-3}$$
Más detalles con x→-oo