Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x^{4} - 1\right)\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{4} + x + 1\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\frac{x}{x^{4} - 1} - 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x^{4} - 1\right)}{- x^{4} + x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \left(x^{4} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x^{4} + x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x^{4} - 1}{1 - 4 x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 x^{4} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(1 - 4 x^{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{5 x}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{5 x}{3}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)