Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty} e^{- 2 x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty} x^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- 2 x}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- 2 x}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{e^{- 2 x}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} \left(- x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 e^{- 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 e^{- 2 x}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)