Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/(-1+(1+x)^(1/3))
-
Límite de (4+5*x+6*x^2)/(-2+3*x^2+7*x)
-
Límite de ((1+5*x)/(-2+5*x))^(-8+3*x)
-
Límite de (5-4/cos(x))^(sin(3*x)^(-2))
-
Expresiones idénticas
- ((uno + cinco *x)/(- dos + cinco *x))^(- ocho + tres *x)
- ((1 más 5 multiplicar por x) dividir por ( menos 2 más 5 multiplicar por x)) en el grado ( menos 8 más 3 multiplicar por x)
- ((uno más cinco multiplicar por x) dividir por ( menos dos más cinco multiplicar por x)) en el grado ( menos ocho más tres multiplicar por x)
- ((1+5*x)/(-2+5*x))(-8+3*x)
- 1+5*x/-2+5*x-8+3*x
- ((1+5x)/(-2+5x))^(-8+3x)
- ((1+5x)/(-2+5x))(-8+3x)
- 1+5x/-2+5x-8+3x
- 1+5x/-2+5x^-8+3x
- ((1+5*x) dividir por (-2+5*x))^(-8+3*x)
-
Expresiones semejantes
- ((1+5*x)/(-2+5*x))^(8+3*x)
- ((1+5*x)/(2+5*x))^(-8+3*x)
- ((1-5*x)/(-2+5*x))^(-8+3*x)
- ((1+5*x)/(-2+5*x))^(-8-3*x)
- ((1+5*x)/(-2-5*x))^(-8+3*x)
Límite de la función ((1+5*x)/(-2+5*x))^(-8+3*x)
Solución
Ha introducido
[src]
-8 + 3*x
/1 + 5*x \
lim |--------|
x->oo\-2 + 5*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8}$$
Limit(((1 + 5*x)/(-2 + 5*x))^(-8 + 3*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x - 2\right) + 3}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 2}{5 x - 2} + \frac{3}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x - 2}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{9 u}{5} - \frac{34}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{9 u}{5}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{34}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{34}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{9 u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{9 u}{5}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{9}{5}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{9}{5}} = e^{\frac{9}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8} = e^{\frac{9}{5}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(5 x - 2\right) + 3}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x - 2}{5 x - 2} + \frac{3}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{5 x - 2}{3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{9 u}{5} - \frac{34}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{9 u}{5}}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{34}{5}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{34}{5}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{9 u}{5}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{9 u}{5}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{9}{5}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{9}{5}} = e^{\frac{9}{5}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8} = e^{\frac{9}{5}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8} = e^{\frac{9}{5}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8} = 256$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8} = 256$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8} = \frac{1}{32}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8} = \frac{1}{32}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8} = e^{\frac{9}{5}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8} = 256$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8} = 256$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8} = \frac{1}{32}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8} = \frac{1}{32}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{5 x + 1}{5 x - 2}\right)^{3 x - 8} = e^{\frac{9}{5}}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico